[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Jak już wspominałem w jednym z poprzednich rozdziałów, twierdzenie Godła o niezupełności matematyki położyło kres takiemu ściśle formalistycznemu stanowisku.Mimo to część matematyków nadal uważa, że matematyka jest wyłącznie tworem ludzkiego umysłu i nie ma innego znaczenia niż to, które przypisują jej matematycy.Przeciwny kierunek myślenia znany jest pod nazwą platonizmu.Przypomnijmy sobie, że Platon wyznawał dualistyczną wizję rzeczywistości, na jednym krańcu umieszczając świat fizyczny, stworzony przez Demiurga, zmienny i przemijający, natomiast na drugim świat wiecznych i niezmiennych Idei, będących czymś w rodzaju abstrakcyjnych wzorców dla elementów świata fizycznego.Obiekty matematyczne zaliczał on do świata idealnego.Zdaniem platoników prawdy matematyczne nie są przez nas tworzone, lecz odkrywane.Obiekty i twierdzenia matematyki istnieją obiektywnie, transcendując fizyczną rzeczywistość będącą przedmiotem naszej percepcji.Aby uzmysłowić sobie w pełni sens tej dychotomii, przyjrzyjmy się jej na konkretnym przykładzie.Rozważmy twierdzenie: „Dwadzieścia trzy jest najmniejszą liczbą pierwszą większą od dwudziestu.Z logicznego punktu widzenia zdanie to może być albo prawdziwe, albo fałszywe.W istocie jest ono prawdziwe.Pytaniem, jakie sobie stawiamy, jest, czy jest ono prawdziwe w bezczasowym, absolutnym sensie.Czy było prawdziwe, zanim w ogóle wynaleziono (czy też odkryto) liczby pierwsze? Platonicy odpowiadają na to twierdząco, gdyż uważają, że liczby pierwsze istnieją abstrakcyjnie, niezależnie od tego, czy ludzie o nich wiedzą czy nie.Formaliści natomiast odrzuciliby takie pytanie jako absurdalne.Co sądzą na ten temat zawodowi matematycy? Powiada się niekiedy, że matematycy są platonikami w godzinach pracy, a formalistami w czasie wolnym.Zajmując się bezpośrednio matematyką trudno oprzeć się wrażeniu, że odkrywa się coś realnie istniejącego, tak jak w naukach przyrodniczych.Obiekty matematyczne żyją własnym życiem, często wykazując zupełnie nieoczekiwane własności.Z drugiej strony, koncepcja transcendentnej dziedziny, w której miałyby bytować obiekty matematyczne, wielu matematykom wydaje się nazbyt mistyczna, aby się do niej przyznawać, i jeśli się ich o to zapyta, zwykli twierdzić, że uprawianie matematyki polega wyłącznie na żonglerce symbolami i formułami.Niemniej jednak istnieli prominentni matematycy przyznający się otwarcie do platonizmu.Należał do nich Kurt Godeł.Jak można było tego oczekiwać, Godeł oparł swą filozofię matematyki na wynikach swych badań nad rozstrzygalnością twierdzeń, rozumując, że zawsze będą istnieć twierdzenia matematyczne, które są prawdziwe, lecz nie mogą być udowodnione na podstawie istniejących aksjomatów.Wyobrażał sobie zatem, iż owe prawdziwe twierdzenia bytują „gdzieś tam” poza naszą Jaskinią”, w dziedzinie platońskich idei.Innym znanym platonikiem jest matematyk z Oxfordu, Roger Penrose.„Prawda matematyczna przekracza ramy czystego formalizmu” - pisze on.„Często odnosimy wrażenie, że pod pojęciami matematycznymi kryje się jakaś głębsza rzeczywistość, wykraczająca daleko poza deliberacje jakiegokolwiek konkretnego matematyka.Wygląda to, jak gdyby myśl człowieka kierowana była ku jakiejś zewnętrznej wobec niej, odwiecznie istniejącej prawdzie - prawdzie, która stanowi niezależną od nas rzeczywistość i ukazuje się nam jedynie w niewielkiej części”.Przytaczając jako przykład liczby zespolone, Penrose uważa, że mają one „głęboką, pozaczasową realność”.Innym przykładem, który skłonił Penrose'a do przyjęcia platonizmu, jest coś, co nazwano „zbiorem Mandelbrota”, na cześć Benoita Mandelbrota, naukowca z firmy komputerowej IBM.Zbiór ten, którego postać geometryczna zwie się „fraktalem”, związany jest blisko z teorią chaosu i dostarcza kolejnego wspaniałego przykładu, że w wyniku prostej procedury rekurencyjnej otrzymujemy obiekt o niewiarygodnym bogactwie formy i złożoności.Generowany jest on poprzez wielokrotne stosowanie reguły (czy też odwzorowania) z -» z2 + c, gdzie z jest zmienną zespoloną, a c jest pewną stałą o wartości zespolonej.Regułę tę należy rozumieć następująco: weź pewną liczbę zespoloną z i zastąp ją przez z2 + c, następnie podstaw ją za z i wykonaj tę samą operację, i tak dalej, i tak dalej.Otrzymywane kolejno liczby zespolone można przedstawić na płaszczyźnie, na przykład na kartce papieru lub ekranie komputerowym, przy czym każda liczba stanowi jeden punkt.Można stwierdzić, że dla jednych wartości c punkt ten szybko wędruje poza ekran, podczas gdy dla innych wartości porusza się przez cały czas wewnątrz pewnego ograniczonego obszaru.Z kolei dane c jako liczba zespolona również odpowiada pewnemu punktowi na płaszczyźnie i właśnie zbiór wszystkich takich punktów c stanowi zbiór Mandelbrota.Zbiór ten ma tak niezwykle skomplikowaną strukturę, że nie sposób wprost opisać w słowach jego zadziwiającego piękna.Niejednokrotnie fragmenty tego zbioru były wystawiane jako dzieła sztuki na wystawach.Charakterystyczną cechą zbioru Mandelbrota jest to, że każda jego część może być powiększana bez końca i każdy kolejny poziom rozdzielczości ujawnia nowe bogactwo jego struktury.Penrose zauważa, że Mandelbrot przystępując do badania własności tego zbioru zupełnie nie wyobrażał sobie z góry zawartej w nim wyrafinowanej struktury:Struktura zbioru Mandelbrota nie może być przez nikogo z nas poznana w pełni swej złożoności; nie może też jej zrealizować żaden komputer.Wydaje się, jak gdyby nie była ona częścią naszego umysłu, lecz istniała niezależnie od nas.(.) Komputer wykorzystywany jest w tym przypadku zasadniczo w ten sam sposób, jak fizyk-eksperymentator wykorzystuje swą aparaturę doświadczalną do zgłębiania budowy świata fizycznego.Zbiór Mandelbrota nie został wymyślony, lecz odkryty.Tak jak Mount Everest, zbiór Mandelbrota po prostu jest!Martin Gardner, matematyk i znany popularyzator nauki, zgadza się z tą opinią: „Penrose nie rozumie (ja również), jak ktoś mógłby przypuścić, że ta egzotyczna struktura jest mniej realna od Mount Everestu; może być ona penetrowana przez badaczy na podobieństwo dżungli”.„Czy matematykę tworzymy, czy odkrywamy?” - pyta Penrose
[ Pobierz całość w formacie PDF ]