[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe ze względu na czas t:t 2 − 2t − 04,= 0.(d)Po obliczeniu pierwiastków tego równania i odrzuceniu pierwiastka ujemnegootrzymujemy czas, po którym punkt się zatrzyma: t1 = 2,02 s.Drogę przebytą przezpunkt materialny obliczymy, całkując równanie (b) w granicach od 0 do t1.t1 ⎡10 ⎛t 2 ⎞⎤5⎛t ⎞s = ∫ ⎢v +t −dt⎜⎜⎟⎟⎥ = v t +t ⎜11− ⎟ =.m74,10m20 1m 1⎣⎝⎠⎦⎝3 ⎠Przykład 7.4.Punkt materialny o masie m jest przyciągany do środka O z siłąo wartości P = αm/x4 (rys.7.3), gdzie α jest wartością stałą.Wyznaczyć prędkośćpunktu w chwili, gdy jego odległość x = OM od punktu O będzie równa x0/2,jeżeli w chwili początkowej (dla t = 0) x = x0, v = v0 = 0.0PmxRozwiązanie.Na rozpatrywany punktdziała tylko siła P, wobec tego jegoxMMorównanie różniczkowe ma postać:x2od xαmm= −,24Rys.7.3.Wyznaczenie prędkościdtxpunktu materialnegoczyli2d xα= −.(a)24dtxPo podstawieniu w powyższym równaniu:d2xdvdv dxdv===vdt 2dtdx dtdxotrzymamy:dvαv= −,dxx 4a po rozdzieleniu zmiennychdxvdv = −α.(b)4xPo scałkowaniu tego równania w granicach od 0 do v oraz od x0 do x0/2otrzymamy:1 xv2 0 dxvdv = −α,∫∫ x4x0v27α=.23x30Stąd prędkość punktu14αv =.(c)3x3 0Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie równania ruchu punktu.Przykład 7.5.Ciało o masie m = 2 kg rzucone pionowo do góry z prędkością początkową v0 = 30 m/s pokonuje opór powietrza R, którego wartość przyprędkości v [m/s] wynosi 0,4v [N].Obliczyć, po ilu sekundach ciało osiągnienajwyższe położenie H.Przyjąć przyśpieszenie ziemskie g =10 m/s2.Rozwiązanie.Na ciało działają siły ciężkościi oporu powietrza i obie są skierowanexv=0w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu (rys.v7.4).Zatem równanie różniczkowe ruchu mampostać:GH2Rd zm= −mg − ,0 4 ,vdt 2V0a po podstawieniu danych liczbowych możemyOnapisać:Rys.7.4.Rzut pionowy zdvuwzględnieniem oporu powietrza= −(10 + ,0 2v).(a)dtPo rozdzieleniu zmiennych w równaniu (a) mamy:dv= −dt.(b)10 + ,0 2vPo scałkowaniu tego równania w granicach od v0 do 0 oraz od 0 do t,uporządkowaniu i zastąpieniu różnicy logarytmów logarytmem ilorazuotrzymujemy czas, po którym ciało osiągnie najwyższe położenie:1 0,0 dv2t= − dt,∫∫0,2 10 + ,0 2vv10 + 0,2vt = ln50 = ln1,65=s.2,35107.1.4.Zasada d’AlembertaPo przeniesieniu obu wyrazów występujących w dynamicznym równaniu ruchupunktu materialnego (7.1) na jedną stronę otrzymamy:F− m a = 0.Po wprowadzeniu do tego równania zamiast −ma fikcyjnej siły zwanej siłąbezwładności lub siłą d’Alemberta, P = −m a , otrzymamy zasadę d’Alemberta bdla punktu materialnego:F+ P = 0 , (7.7)bktórą słownie wyrażamy następująco:Sumasił rzeczywistych i siły bezwładności działających na punkt materialnyjest w każdej chwili równa zeru.Z zasady tej wynika, że poprzez formalne wprowadzenie siły bezwładnościzagadnienie dynamiczne można sprowadzić do zagadnienia statycznej równowagisił.Przedstawioną wyżej zasadę d’Alemberta dotyczącą swobodnego punktumaterialnego zastosujemy do układu n punktów materialnych.W tym celurozpatrzmy układ n punktów materialnych o masach mk i przyśpieszeniach ak.Naposzczególne punkty rozpatrywanego układu materialnego mogą działać siłyzewnętrzne i wewnętrzne.Zgodnie z podziałem wprowadzonym w statyce (p.3.1.2)siłami wewnętrznymi ami rozpatrywanego układu materialnego, a siłamizewnętrznymi siły pochodzące od innych punktów lub ciał nie należących donaszego układu materialnego.Na rysunku 7
[ Pobierz całość w formacie PDF ]